一、单选题（每题 2 分，共 30 分）

1. 关于单链表、双链表和循环链表，下列说法正确的是（ ）。

{{ select(1) }}

• 在单链表中，若已知任意结点的指针，则可以在$O(1)$时间内删除该结点
• 循环链表中一定不存在空指针
• 在循环双链表中，尾结点的 next 指针一定为 nullptr
• 在带头结点的循环单链表中，判定链表是否为空只需判断头结点的 next 是否指向自身

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2. 双向循环链表中要在结点 $p$ 之前插入新结点 $s$（均非空），以下指针操作正确的是（ ）。

{{ select(2) }}

• s -> next = p; 
  p -> prev = s; 
  p -> next = s; 
  s -> prev = p;
  

• s -> prev = p;
  s -> next = p -> next;
  p -> next -> prev = s;
  p -> next = s;
  

• s -> next = p; 
  s -> prev = p->prev; 
  p -> prev -> next = s; 
  p -> prev = s;
  

• s -> next = p; 
  s -> prev = nullptr;
  p -> prev = s;
  

---

3. 下面函数用“哑结点”统一处理删除单向链表中的头结点与中间结点。横线处应填（ ）。

struct Node{
	int val;
	Node* next;
	Node(int v):val(v),next(nullptr){}
};

Node* eraseAll(Node* head, int x){
	Node dummy(0);
	dummy.next = head;
	Node* cur = &dummy;
	while(cur->next){
		if(cur->next->val == x){
			Node* del = cur->next;
			______________________
			delete del;
		}else cur = cur->next;
	}
	return dummy.next;
}

{{ select(3) }}

• cur = cur->next;
• cur->next = del->next;
• del->next = cur->next;
• cur->next = nullptr;

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4. 对如下代码实现的欧几里得算法（辗转相除法），执行 gcd(48, 18) 得到的调用序列为（ ）。

int gcd(int a, int b) {
	return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

{{ select(4) }}

• gcd(48,18) -> gcd(18,12) -> gcd(12,6) -> gcd(6,0)
• gcd(48,18) -> gcd(30,18) -> gcd(12,18)
• gcd(48,18) -> gcd(18,30) -> gcd(30,6)
• gcd(48,18) -> gcd(12,18) -> gcd(6,12)

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5. 下面代码实现了欧拉（线性）筛，横线处应填写（ ）。

vector<int> euler_sieve(int n) {
	vector<bool> is_composite(n + 1, false);
	vector<int> primes;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!is_composite[i])
			primes.push_back(i);
		for (int j = 0; __________________________ && (long long)i * primes[j] <= n; j++) {
			is_composite[i * primes[j]] = true;
			if (i % primes[j] == 0)
				break;
		}
	}
	return primes;
}

{{ select(5) }}

• j <= n
• j < sqrt(n)
• j < primes.size()
• j < i

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6. 埃氏筛中将内层循环从 $j = i*i$ 开始而不是 $j = 2*i$ 的主要原因是（ ）。

vector<int> eratosthenes_sieve(int n) {
	vector<bool> is_composite(n + 1, false);
	vector<int> primes;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (is_composite[i]) continue;
		primes.push_back(i);
		for (long long j = (long long)i * i; j <= n; j += i)
			is_composite[j] = true;
	}
	return primes;
}

{{ select(6) }}

• 因为 $2*i$ 一定不是合数
• $i*i$ 一定是质数
• 小于 $i*i$ 的 $i$ 的倍数已被更小质因子筛过
• 这样可以把时间复杂度降为$O(n)$

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7. 程序运行结果为（ ）。

bool check(int n, int a[], int k, int dist) {
	int cnt = 1;
	int last = a[0];
	
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		if (a[i] - last >= dist) {
			cnt++;
			last = a[i];
		}
	}
	
	return cnt >= k;
}

int solve(int n, int a[], int k) {
	std::sort(a, a + n);
	
	int l = 0;
	int r = a[n - 1] - a[0];
	
	while (l < r) {
		int mid = (l + r + 1) / 2;
		
		if (check(n, a, k, mid))
			l = mid;
		else
			r = mid - 1;
	}
	
	return l;
}

int main() {
	int a[] = {1, 2, 8, 4, 9};
	int n = 5;
	int k = 3;
	
	std::cout << solve(n, a, k) << std::endl;
	
	return 0;
}

{{ select(7) }}

• 2
• 3
• 4
• 5

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8. 在升序数组中查找第一个大于等于 $x$ 的位置，下面循环中横线应填（ ）。

int lowerBound(const vector<int>& a, int x){
	int l=0, r=a.size();
	while(l<r){
		int mid = l + (r - l)/2;
		if(a[mid] >= x) _____________;
		else l = mid + 1;
	}
	return l;
}

{{ select(8) }}

• r = mid
• r = mid - 1
• l = mid
• l = mid + 1

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9. 关于递归函数调用，下列说法错误的是（ ）。

{{ select(9) }}

• 递归调用层次过深时，可能会耗尽栈空间导致栈溢出
• 尾递归函数可以通过编译器优化来避免栈溢出
• 所有递归函数都可以通过循环结构来改写，从而避免栈溢出
• 栈溢出发生时，程序会抛出异常并可以继续执行后续代码

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10. 给定 $n$ 根木头，第 $i$ 根长度为 $a[i]$ 。要切成不少于 $m$ 段等长木段，求最大可能长度，则横线上应填写（ ）。

const int MAXN = 100005;
long long a[MAXN];
int n, m;

bool check(long long x){
	long long cnt = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		if(x == 0) return true;
		cnt += a[i] / x;
		if(cnt >= m) return true;
	}
	return false;
}

int main(){
	cin >> n >> m;
	long long mx = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> a[i];
		mx = max(mx, a[i]);
	}
	
	long long l = 1, r = mx;
	long long ans = 0;
	
	while(l <= r){
		long long mid = l + (r - l) / 2;
		
		if(check(mid)){
			ans = mid;
			______________________
		}else{
			______________________
		}
	}
	
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

{{ select(10) }}

• l = mid + 1;
  r = mid - 1;
  

• l = mid - 1;
  r = mid + 1;
  

• l = mid + 1;
  r = mid;
  

• l = mid;
  r = mid + 1;
  

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11. 下面代码用分治求“最大连续子段和”，其时间复杂度为（ ）。

int solve(vector<int>& a, int l, int r){
	if(l == r) return a[l];
	
	int mid = l + (r - l) / 2;
	
	int left = solve(a, l, mid);
	int right = solve(a, mid + 1, r);
	
	int sum = 0, lmax = INT_MIN;
	for(int i = mid; i >= l; i--){
		sum += a[i];
		lmax = max(lmax, sum);
	}
	
	sum = 0;
	int rmax = INT_MIN;
	for(int i = mid + 1; i <= r; i++){
		sum += a[i];
		rmax = max(rmax, sum);
	}
	
	return max({left, right, lmax + rmax});
}

{{ select(11) }}

• $O(n^2)$
• $O(n log n)$
• $O(logn)$
• $O(n)$

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12. 游戏大赛决赛，两组选手分别按得分从小到大排好队，现在要把他们合并成一个有序排行榜。 A组： $A = {12, 35, 67, 89}$ ， B组： $B = {20, 45, 55, 78}$， 下面是归并合并函数的核心循环，横线处应填入（ ）。

int i = 0, j = 0;
vector<int> result;

while (i < A.size() && j < B.size()) {
	if (___________________) {
		result.push_back(A[i++]);
	} else {
		result.push_back(B[j++]);
	}
}

while (i < A.size()) {
	result.push_back(A[i++]);
}

while (j < B.size()) {
	result.push_back(B[j++]);
}

{{ select(12) }}

• A[i] >= B[j]
• A[i] <= B[j]
• i >= j
• i <= j

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13. 有 $n$位同学的成绩已经从小到大排好序，现在对它执行下面这段以第一个元素为 pivot 的快速排序，请问此次排序的时间复杂度是（ ）。

void quicksort(vector<int>& a, int l, int r) {
	if (l >= r) return;
	int pivot = a[l];
	int i = l, j = r;
	while (i < j) {
		while (i < j && a[j] >= pivot) j--;
		while (i < j && a[i] <= pivot) i++;
		if (i < j) swap(a[i], a[j]);
	}
	swap(a[l], a[i]);
	quicksort(a, l, i - 1);
	quicksort(a, i + 1, r);
}

{{ select(13) }}

• $O(n)$
• $O(n log n)$
• $O(n²)$
• $O(log n)$

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14. 下面关于排序算法的描述中，不正确的是( )。

{{ select(14) }}

• 冒泡排序和插入排序都是稳定的排序算法
• 快速排序和归并排序都是不稳定的排序算法
• 冒泡排序和插入排序最好时间复杂度均为$O(n)$
• 归并排序在最好、最坏和平均三种情况的时间复杂度均为$O(n \ logn)$

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15. 下面代码实现两个整数除法，其中被除数为一个“大整数”，用字符串表示，除数是一个小整数，用 $int$ 表示，则横线处应该填写（ ）。

int main(){
	string s;
	int b;
	cin >> s >> b;
	
	vector<int> a;
	for(char c : s){
		a.push_back(c - '0');
	}
	
	vector<int> c;
	long long rem = 0;
	
	for(int i = 0; i < a.size(); i++){
		rem = rem * 10 + a[i];
		int q = rem / b;
		c.push_back(q);
		______________________
	}
	
	int pos = 0;
	while(pos < c.size() - 1 && c[pos] == 0) pos++;
	
	for(int i = pos; i < c.size(); i++){
		cout << c[i];
	}
	
	cout << endl;
	cout << rem << endl;
	return 0;
}

{{ select(15) }}

• rem /= b
• rem %= b
• rem = b
• rem = q

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二、判断题（每题 2 分，共 20 分）

16. 有一个存储了$n$个整数的线性表，分别用数组和单链表两种方式实现。在已知下标（或结点指针）的前提下，数组的随机访问是 $O(1)$， 而在链表中已知某结点的指针时，在该结点之后插入一个新结点的操作也是$O(1)$。

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

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17. 若数组 $a$ 已按升序排列，则下面代码可以正确实现 “在 $a$ 中查找第一个大于等于 $x$ 的元素的位置”。

int lowerBound(vector<int>& a,int x){
	int l=0, r=a.size();
	while(l < r) {
		int mid = (l + r) / 2;
		if( a[mid] >= x) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	return l;
}

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

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18. 快速排序只要每次都选取中间元素作为枢轴，就一定是稳定排序。

{{ select(18) }}

• 正确
• 错误

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19. 若某算法满足递推式：$T(n) = 2T(n/2)+O(n)$ ，则其时间复杂度为 $O(nlogn)$。

{{ select(19) }}

• 正确
• 错误

---

20. 在一个数组中，如果两个元素 a[i] 和 a[j] 满足 i < j 且 a[i] > a[j] ，则 a[i] 和 a[j] 是一个逆序对。 下面代码可以正确统计数组 a 区间 [l,r] 内的逆序对总数。

long long cnt=0;
void merge_count(vector<int>& a, int l, int m, int r){
	int i = l, j = m + 1;
	while(i <= m && j <= r) {
		if(a[i] <= a[j]) i++;
		else {
			cnt += (m - i+ 1);
			j++;
		}
	}
}

{{ select(20) }}

• 正确

• 错误

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21. 根据唯⼀分解定理，如果⼤于$1$的整数不能被任何不超其平⽅根的质数整除，那么$n$ 必定是质数。

{{ select(21) }}

• 正确
• 错误

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22. 假设数组的$a$的值域范围是$D$，以下程序的时间复杂度是$O(nlogn+nlogD)$。

bool check(int n, int a[], int k, int dist) {
	int cnt = 1;
	int last = a[0];
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		if (a[i] - last >= dist) {
			cnt++;
			last = a[i];
		}
	}
	return cnt >= k;
}
int solve(int n, int a[], int k) {
	std::sort(a, a + n);
	int l = 0;
	int r = a[n - 1] - a[0];
	while (l < r) {
		int mid = (l + r + 1) / 2;
		if (check(n, a, k, mid))
			l = mid;
		else
			r = mid - 1;
	}
	return l;
}
int main() {
	int a[] = {1, 2, 8, 4, 9};
	int n = 5;
	int k = 3;
	std::cout << solve(n, a, k) << std::endl;
	return 0;
}

{{ select(22) }}

• 正确
• 错误

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23. 若一个问题满足最优子结构性质，则一定可以用贪心算法得到最优解。

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

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24. 线性筛相比埃氏筛的核心改进在于：埃氏筛中一个合数可能被多个质数重复标记，线性筛通过"每个合数只被其最大质因子筛去"的策略，保证每个合数恰好被标记一次，从而实现$O(n)$ 的时间复杂度。

{{ select(24) }}

• 正确
• 错误

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25. 任何递归程序都可以改写为等价的非递归程序，但改写后 的非递归程序一定需要显式地使用栈来模拟递归调用过程。

{{ select(25) }}

• 正确
• 错误